Infinits més grans que altres?

"Fins l'infinit i més enllà", això deia Buzz Lightyear a la pel·lícula de Pixar Toy Story (1995). La frase es basa en la suposició, perfectament raonable, de que l'infinit és un absolut INSUPERABLE, és a dir, que no hi ha un més enllà.
entre ells:

Però tal i com va comprovar Georg Cantor a finals del segle XIX, hi ha diferents tipus d'infinits, i uns són més grans que altres.

Posem l'exemple dels nombres naturals. Són un conjunt de nombres IL·LIMITATS. Però com de grans? Com d'infinits? Cantor deia que els nombres naturals, tot i ser infinits, són menys nombrosos que, per exemple, els nombres reals.

De fet, també deia que existeixen més nombres reals entre 0 i 1 que en el total dels nombres naturals.
Deia que si els nombres naturals i el subconjunt de nombres reals entre 0 i 1 fossin igual d'infinits (tinguessin el mateix número infinit de nombres) es podria establir una relació de 1 a 1 entre els dos conjunts.
Posem un exemple:
Agafem aquests tres conjunts numèrics: nombres naturals, nombres naturals per 2 i els nombres enters.

N: 1, 2, 3, 4, …, ∞
2N: 2, 4, 6, …, ∞
Z: 0, 1, -1, 2, -2, …, ∞

Els tres conjunts tenen infinits nombres, però si pensem lògicament, arribem a la conclusió de que en algun hi ha d'haver més que en un altre. Per exemple, podríem dir que Z té el doble de nombres que N (alguna cosa com 2·∞), ja que té els mateixos nombres que N més la versió negativa de cada un d'ells.
Però en realitat, no és així, y els tres grups són igual de grans. Dos conjunts tenen el mateix nombre d'elements si es pot establir una relació d'1 a 1 entre ells:

Així que entre 2N i N hi ha el mateix número d'elements.

Passa igual entre N i Z:

Així doncs, aquests tres conjunts són IGUALS.

Tot i així, hi ha infinits "més grans". 

Per entendre aquest concepte, us recomanem que us llegiu una petita història que hem trobat en una pàgina web que t'explica, amb un exemple, com és que hi ha conjunts infinits més grans que altres.

Link: http://algarabia.com/ciencia/hay-infinitos-mas-grandes-que-otros/

David Hilbert tenia raó...

"L'infinit! Cap qüestió ha commogut tan profundament l'esperit de l'home." David Hilbert

Tant ha commogut a l'home que hi ha hagut persones que han perdut el cap amb aquest tema!